Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}.}$

Esempi

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

• I versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
  1. ${\displaystyle {\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}};}$
  2. ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z};}$
  3. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3};}$
  4. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }},{\hat {\mathbf {z} }};}$
  5. ${\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {y} _{0},\mathbf {z} _{0};}$
  6. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.}$
• I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
• I versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare equivalentemente con:
  1. ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {\theta }};}$
  2. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\boldsymbol {\theta }}};}$
  3. ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta };}$
  4. ${\displaystyle \mathbf {r} _{0},{\boldsymbol {\theta }}_{0}.}$
• Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano spesso nei seguenti tre modi equivalenti:
  1. ${\displaystyle {\hat {t}},{\hat {n}};}$
  2. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }},{\hat {\mathbf {n} }};}$
  3. ${\displaystyle \mathbf {e} _{t},\mathbf {e} _{n}.}$

Derivata di un versore

Sia ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)}$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}}$

e ricordando che i versori hanno modulo unitario si ha

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1.}$

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }} {\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0.}$

Data la commutatività del prodotto scalare

${\displaystyle 2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0.}$

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}}$, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)=\theta (t),{\hat {\theta }} 1\,{\hat {r}},}$

che in coordinate cartesiane diviene:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}(t)=\cos \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\imath }} \sin \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\jmath }}.}$

Derivando rispetto a ${\displaystyle t}$ si ottiene:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}'(t)=\theta '(t)(-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }} \cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}),}$

dove il termine

${\displaystyle -\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }} \cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}}$

è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine

${\displaystyle \theta '(t)}$

è in generale diverso dall'unità.

Voci correlate

• Vettore (matematica)
• Vettore (fisica)
• Normalizzazione (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio vettoriale
• Spazio normato
• Circonferenza unitaria

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Unit Vector, su MathWorld, Wolfram Research.